Como calcular o número de combinações possíveis de senhas de 5 caracteres com um conjunto específico de restrições, utilizando os conceitos de permutação de um conjunto de elementos sem repetição?
questão 8 análise combinatória
Veja abaixo a resposta da questão sobre Análise Combinatória, especificamente sobre permutações e contagem de combinações.
Questão 08
Para segurança do sistema financeiro da empresa, os usuários foram orientados a criar senhas de obrigatoriamente 5 caracteres com as seguintes restrições:
- Não é permitido repetir caractere;
- Só pode usar os algarismos decimais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
- Só pode usar as vogais maiúsculas e minúsculas;
- Pode usar os símbolos especiais: @, # e %.
O número de senhas geradas por essas orientações é:
- A) 1.028.160.
- B) 1.889.568.
- C) 2.018.940.
- D) 4.037.880.
- E) 6.436.343.
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos contar o número total de caracteres permitidos e calcular a quantidade de combinações possíveis para uma senha de 5 caracteres, sem repetição.
Contagem dos caracteres permitidos
Os caracteres permitidos são:
- 10 algarismos decimais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- 10 vogais (maiúsculas e minúsculas): A, E, I, O, U, a, e, i, o, u
- 3 símbolos especiais: @, #, %
Total de caracteres permitidos: 10 + 10 + 3 = 23 caracteres.
Cálculo das combinações possíveis
Para formar uma senha de 5 caracteres sem repetição, utilizamos o conceito de permutação de 23 caracteres tomados 5 a 5:
O número de combinações possíveis é dado por:
[ P(23, 5) = frac{23!}{(23 - 5)!} = frac{23!}{18!} ]
Calculando o fatorial
Para simplificar o cálculo, apenas multiplicamos os primeiros 5 termos do fatorial de 23:
[ 23 x 22 x 21 x 20 x 19 ]
Resultado
Realizando a multiplicação:
- 23 × 22 = 506
- 506 × 21 = 10,626
- 10,626 × 20 = 212,520
- 212,520 × 19 = 4,037,880
Portanto, o número de senhas possíveis é 4.037.880.
Resposta Correta
A alternativa correta é D: 4.037.880.
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