Taxa Efetiva Anual: Como Resolver Essa Questão de Matemática Financeira?
questão taxa de juros anual
Veja abaixo a resposta da questão e aprenda calcular os juros compostos.
Assista o vídeo abaixo:
A taxa de 15% ao ano, capitalizada ao quadrimestre, tem como taxa efetiva anual:
A) 60%.
B) 45%.
C) 25,24%.
D) 15,76%.
E) 12,68%.
Resolução da Questão
Para resolver essa questão, precisamos calcular a taxa efetiva anual baseada na taxa nominal anual de 15%, considerando que o regime é de capitalização composta ao quadrimestre.
Passo a Passo:
- Dividindo a taxa nominal anual pela periodicidade
A taxa nominal de 15% ao ano é aplicada em períodos quadrimestrais.
Um ano possui 3 quadrimestres (12 meses ÷ 4 meses = 3).
Assim, a taxa quadrimestral será:
Calculando a taxa efetiva anual
A fórmula para a taxa efetiva anual () no regime de capitalização composta é:Onde:
- (taxa quadrimestral)
- (número de períodos quadrimestrais em um ano)
Substituindo os valores:
Calculando :
Subtraindo 1:
Convertendo para porcentagem:
- Resposta correta:
A taxa efetiva anual é aproximadamente 15,76%.
Alternativa correta: D) 15,76%.
Por que as outras alternativas estão erradas?
- A) 60%: Muito acima do valor correto, pode confundir quem soma as taxas ou esquece de aplicar a fórmula composta.
- B) 45%: Também está bem acima, erro comum ao interpretar incorretamente a periodicidade.
- C) 25,24%: Próxima, mas ainda exagerada, possivelmente derivada de um cálculo incorreto na potência.
- E) 12,68%: Subestima o valor, sugerindo erro ao considerar a taxa efetiva menor que a nominal.
Assunto da Questão:
Matemática Financeira – Taxas de Juros Compostos e Taxas Efetivas.
Para responder questões como essa, estude:
- Diferença entre taxa nominal e taxa efetiva.
- Fórmulas de capitalização composta.
- Conversão de taxas entre diferentes períodos (mensal, trimestral, anual).
- Uso de potências e logaritmos para cálculo de taxas.
Dica para resolver mais rápido:
Se precisar repetir esse tipo de cálculo em concursos, decore os passos para converter taxa nominal em taxa efetiva usando a fórmula e calcule diretamente com e adequados.
A fórmula da taxa efetiva anual (TEA) pode parecer complicada à primeira vista, mas sua lógica é simples e tem base no conceito de juros compostos, que envolvem crescimento exponencial. Vamos entender a lógica de forma prática:
Por que não usamos multiplicação simples?
Quando falamos de juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o montante acumulado até aquele momento, ou seja, eles "crescem sobre o crescimento anterior". Isso significa que a evolução do valor não é linear (como na multiplicação simples), mas exponencial (potência).
Se fosse juros simples, poderíamos somar as taxas, porque o crescimento seria proporcional ao tempo. Porém, como os juros compostos reinvestem os ganhos, precisamos usar potências.
Explicando a fórmula com lógica prática
A fórmula da TEA é: TEA=(1+i) ^n −1
i é a taxa de juros por período (por exemplo, ao quadrimestre).
n é o número de períodos em um ano.
A base da fórmula,
1+i, representa o fator de crescimento a cada período.
Passo a passo da lógica:
Pense em um "fator de crescimento" para cada período:
Quando aplicamos uma taxa de 5% (i = 0,05) em um quadrimestre, estamos multiplicando o valor inicial por 1+i, ou seja, 1,05. Isso reflete o valor acumulado após um período.
Considere o crescimento ao longo de vários períodos:
No final de 1 ano (3 quadrimestres), o valor é multiplicado por 1,05 três vezes:
Valorfinal=Valorinicial×(1,05)
Essa repetição da multiplicação é o que transforma o crescimento em exponencial, e por isso usamos a potência n para representar o número de períodos.
Elimine o valor inicial para calcular a taxa:
Como queremos saber apenas a taxa efetiva e não o montante, removemos o "valor inicial" e consideramos somente o fator de crescimento:
TEA=(1+i)
Subtraímos 1 no final porque o 1 na fórmula representa o capital inicial. O restante é o crescimento real (a taxa efetiva).
Memorização com um exemplo simples
Imagine que você tem R$100 para investir. Se a taxa for de 5% ao quadrimestre, ao final de cada quadrimestre, o valor cresce assim:
Após 1º quadrimestre:
100×1,05=105.
Após 2º quadrimestre:
105×1,05=110,25.
Após 3º quadrimestre:
110,25×1,05=115,76.
No final do ano, seu montante é R$115,76. Comparando com o valor inicial, o crescimento foi 15,76%, que é a TEA. Esse processo de crescimento não poderia ser representado apenas somando taxas, porque cada quadrimestre incorpora os juros do período anterior.
Dica para facilitar a memorização
"Multiplicação acumulativa": Pense que cada período empilha crescimento sobre crescimento.
Fator de crescimento: Sempre adicione 1 à taxa i e multiplique n vezes.
O "1" inicial na fórmula: É o valor de partida. Sempre subtraímos no final para isolar o crescimento (juros).
Com essa explicação, fica mais fácil entender por que a fórmula usa potência e não multiplicação simples. Isso reflete o verdadeiro impacto dos juros compostos ao longo de vários períodos!
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