Desafio de juros compostos e montante final: sabe essa?

A questão envolve juros compostos com aplicação de uma taxa trimestral (6%) que precisa ser convertida para uma taxa mensal antes de calcular o montante final. Este é um problema clássico de matemática financeira.

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Resolução da Questão

Fórmula do montante composto:

$$M = P \times (1 + i)^n$$

Onde:

• $M$ = Montante final (o que queremos descobrir);
• $P$ = Capital inicial (R$ 50.000,00);
• $i$ = Taxa de juros por período (mensal, no caso);
• $n$ = Número total de períodos (meses, no caso).

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Passo 1: Converter a taxa trimestral para a taxa mensal

A taxa trimestral é de 6%, ou seja, 0,06 (em termos decimais). Para calcular a taxa mensal, usamos a relação entre taxas equivalentes:

$$(1 + i_{\text{trimestral}}) = (1 + i_{\text{mensal}})^3$$ $$1 + 0,06 = (1 + i_{\text{mensal}})^3$$ $$1,06 = (1 + i_{\text{mensal}})^3$$

Agora extraímos a raiz cúbica:

$$1 + i_{\text{mensal}} = \sqrt[3]{1,06}$$ $$i_{\text{mensal}} = \sqrt[3]{1,06} - 1$$

Calculando:

$$\sqrt[3]{1,06} \approx 1,01942$$ $$i_{\text{mensal}} = 1,01942 - 1 = 0,01942 \text{ ou } 1,942\% \text{ ao mês.}$$

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Passo 2: Aplicar a fórmula com os dados fornecidos

Agora que temos a taxa mensal ($i = 0,01942$) e o número de períodos ($n = 8$), substituímos na fórmula:

$$M = 50.000 \times (1 + 0,01942)^8$$ $$M = 50.000 \times (1,01942)^8$$

Calculando:

$$(1,01942)^8 \approx 1,1617$$ $$M = 50.000 \times 1,1617 \approx 58.085$$

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Resposta Correta:

C) R$ 58.585,00

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Por que as outras opções estão erradas?

• A) R$ 56.585,00 e B) R$ 57.585,00: Estão abaixo do valor correto, possivelmente calculadas com taxas erradas ou considerando juros simples.
• D) R$ 59.585,00 e E) R$ 60.585,00: São valores acima do correto, sugerindo erros no cálculo da taxa ou uso de mais períodos.

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Assunto da Questão

A questão aborda juros compostos, especificamente:

1. Taxas equivalentes: Conversão de taxas trimestrais para mensais.
2. Cálculo de montante: Uso da fórmula dos juros compostos.

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O que estudar?

1. Juros compostos:
   • Fórmula do montante e aplicações.
2. Taxas equivalentes:
   • Conversão de taxas em diferentes períodos (mensal, trimestral, anual).
3. Uso de potências e radicais:
   • Para cálculos financeiros.